Primzahlen und ihre Anwendungen

Was Primzahlen sind sollte ja so ziemlich jeder bereits in der Schule gelernt haben: Natürliche Zahlen größer 1, die nur durch 1 und sich selber teilbar sind, doch nur die wenigsten wissen auch, welche Bedeutung Primzahlen heute in vielen Bereichen unseres Lebens haben.

Ohne Primzahlen gäbe es wohl kein (sicheres) Online Shopping, keine Kreditkartenzahlungen und ähnliches, denn so ziemlich alle modernen Verschlüsselungssysteme setzen auf Primzahlen, wenn auch nicht gerade die, die jeder kennt, sondern genau das Gegenteil, möglichst große Primzahlen mit teils weit über 300 Stellen, die kaum jemand kennt, weil sie sich nur sehr aufwändig berechnen lassen, vor allem die Primfaktorzerlegung solcher Zahlen (Zerlegung einer Zahl in ein eindeutiges Produkt unterschiedlicher Primzahlen), welche für Verschlüsselungssysteme essentiell ist, stellt sich heutzutage noch als quasi unmöglich dar, selbst die neusten Supercomputer würden dafür länger brauchen als unser Universum bisher existiert.

Der Teilbereich der Mathematik, der sich mit Primzahlen befasst, nennt sich Zahlentheorie, und es kommt natürlich nicht von ungefähr, dass die größten Arbeitgeber für studierte Mathematiker mit Spezialisierung auf die Zahlentheorie Geheimdienste wie die NSA und CIA sind. Dort arbeiten nämlich hunderte Zahlentheoretiker unter anderem daran, die Daten zu entschlüsseln, die die NSA, wie wir seit Edward Snowden wissen, ja von so ziemlich jedem pausenlos sammelt. Bisher muss man sich zwar eigentlich keine Sorgen machen wenn man eine moderne Verschlüsselungstechnologie verwendet, z.B. 2048 Bit RSA, das kann aktuell wie gesagt noch niemand effektiv entschlüsseln (und wenn die Computer mal entsprechend schneller werden, benutzt man eben einfach noch längere Schlüssel). Doch ganz so einfach ist das Ganze dann doch wieder nicht, denn wie schon vor einigen Jahren bekannt wurde soll die NSA dafür gezielt „Hintertüren“ in diverse Verschlüsselungssoftware eingebaut haben, die z.B. dafür sorgen, dass nicht wirklich zufällige große Primzahlen zur Verschlüsselung genutzt werden, sondern nur ein spezieller „Satz“ von Primzahlen, welche ihnen natürlich bekannt sind.

Der bekannte und häufig genutzte RSA Algorithmus z.B. arbeitet mit Paaren aus je zwei großen Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, eine solche Multiplikation ist relativ einfach, während jedoch die Primfaktorzerlegung des Ergebnisses wiederum kaum möglich ist, es sei denn natürlich, man hat nur eine begrenzte Menge von einigen zehntausend Primzahlen, welche dafür genutzt werden, und muss diese im Grunde „nur“ durchprobieren. Erste Hinweise auf solche Hintertüren wurden bereits im Jahr 2007 im sogenannten „Elliptische-Kurven-Kryptosystem“ entdeckt und schon damals gingen diverse Experten davon aus, dass diese Hintertüren auch tatsächlich von NSA und co genutzt werden, Edward Snowden’s Enthüllungen zeigten dann schließlich, dass diese Vermutungen zutreffend waren.

Neben der Anwendung in Verschlüsselungen befasst sich auch eines der größten ungelösten Probleme der Mathematik mit Primzahlen, die Riemann’sche Vermutung, zur Lösung dieses Problems ist eine Belohnung in Höhe von 1 Million US-Dollar ausgeschrieben (im Jahr 2000 wurde eine Liste mit sieben dieser sogenannten „Millenium Probleme“ aufgestellt, für deren Lösung jeweils besagte 1 Million Dollar ausgeschrieben wurden, nur eines dieser Probleme, die Poincaré-Vermutung, wurde 2002 von dem russischen Mathematiker Grigori nJakowlewitsch Perelman gelöst, welcher die Belohnung aber ablehnte, alle anderen sind bis heute ungelöst). Die Riemann’sche Vermutung besagt, im ganz groben, dass hinter den scheinbar willkürlich verteilten Primzahlen (von denen es, wie der Grieche Euklid in seinem „Satz von Euklid“ schon vor etwa 2300 Jahren bewies, unendlich viele gibt) doch ein System stecken müsse, da sich alle der sogenannten Zeta-Funktion auf einer Geraden befänden.

Wer mehr über die Riemann’sche Vermutung erfahren möchte, dem kann ich dieses interessante YouTube Video empfehlen: https://www.youtube.com/watch?v=sZhl6PyTflw

Weitere Fakten zu Primzahlen:

– Die größte bisher bekannte Primzahl wurde 2016 ermittelt und hat eine Länge von 22.338.618 Stellen.

– Eine der ältesten Methoden um Primzahlen zu finden ist das Sieb des Eratosthenes, bei welchem man im Grunde einfach alle Zahlen von 1 bis zur höchsten zu prüfenden Zahl aufschreibt und dann „unpassende“ nach und nach wegstreicht, indem man immer alle Vielfachen der kleinsten zuletzt gefundenen Primzahl ausschließt, also zunächst alle Vielfachen von 2, dann von 3, von 5 usw bis man bei der höchsten seiner aufgeschriebenen Zahlen angekommen ist.

Alle Primzahlen bis 10, 100 und 1000:

bis 10: 2, 3, 5, 7,

bis 100: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,

bis 1000: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

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